開業直後の慌しさも落ち着き、スタッフが定着してくると、責任感が強すぎてほとんど休まないスタッフと、割り切ってきっちり休暇を取得できているスタッフがおられるのではないでしょうか？公平間のある運営をするためには、工夫をされたほうがいいかもしれません。

有給休暇の消化を促すためには、例えばスタッフを１人増員する必要がある、などの結論になるかもしれません。有給休暇の取得とは別の話ですが、より高い生産性を実現できるように、労使双方が努力していく必要があります。
その上で、院長が有給休暇の取得を推奨したいと思っても、休暇を取得できる人とほとんど取得できない人があるようでは、チームの風土そのものを大きく損ないます。自分だけ取得できればよいではなく、メンバーがバランスよく取得できるように協力し合うことは、法律以前の問題です。各人が取りたいときに有給休暇の取得を申請し、院長が個別にそれを承認する体制ですと、繁忙期などの「時季変更権」が使用者にあるとは言っても、公平な運用は難しいかもしれません。

そこで、繁忙期を避けて、取得を推奨する時季をあらかじめアナウンスしておき、各スタッフがお互いにシフトや業務調整をし合って公平に取得できるように運営するなどの工夫が考えられます。
もちろん、その場合も、互いに気兼ねして取得を妨げる結果とならないように、院長がチェックする必要はあります。また、この時季でなくても、やむを得ず取得が必要な場合に申請できるように担保しておく必要はあります。
制度として運用する場合は、労使協定を交わして「年次有給休暇の計画的付与制度」を導入されることもあります。
病気や個人的事由による取得ができるように、５日は個人が自由に取得できるように残しておき、残りの日数については、夏季・年末年始・ゴールデンウィークなどで、計画的に消化させるものです。

厚生労働省のサイトの、「有給休暇ハンドブック」に、分かりやすくまとめられていますので、ご参照ください。
＞＞ 有給休暇ハンドブック（厚生労働省）